すごろくゲーム
ポイントサイトで人気のすごろくゲームについて、基本ルールでの確率が気になったので調査してみることにしました。
すごろくゲームといえば、有名なところでは、Tポイントが貰える『Tポイントすごろく』、『迷子のシマヌコ』、PONATAポイントが貰える『ポインタとゆかいなサーカス団』、『ポンタの大冒険』、お小遣いサイトモッピーの『モッピーアドベンチャーⅢ』、同じくお小遣いサイトげん玉の『脱出！おばけハウス』、『げん玉電鉄』などがあり、多くの人が参加しています。
また、上記のすごろくゲームは、全てゴールまでは60マス、1日2回サイコロを振って1週間以内にゴールマスぴったりに止まればゴール、という基本ルールになっています。
本来は、アイテムやワープマスなどを駆使して戦略的にゴールを目指す人が多いのですが、今回はアイテムや特別なマスがなかったとした場合、上記の基本ルールで、サイコロだけでどれ位の確率でゴール出来るのか調べてみました。
サイコロの組合せの算出
結果だけ知りたい方はこちら結果までワープして下さい。
基本ルール
まずは、ここで調査するすごろくゲームの基本ルールを以下に定義しておきます。
・ゴールマスまでのマス数は60
・サイコロを振ることができる回数は14回
・ゴールマスに停止せずに超えた分は戻る
・ゴールマスぴったりに止まればゴール
調査方法
調査方法は、14回サイコロを振った場合のサイコロの目の組合せから、ゴールとなる組合せの数を数えて、14回サイコロを振った場合のサイコロの目の全組合せの総数との割合で算出します。
また、サイコロの回数ごとにサイコロの目の和に対する組合せの数の算出については、こちらのサイトサイコロの和の確率｜確率の計算｜計算サイトを利用させて頂きました。
全組合せ総数
全組合せ総数
まずは、すごろくゲームで毎回サイコロを振った場合の全組合せ数ですが、サイコロを振る数が全部で14回(7日ｘ2回)なので、６の14乗＝78,364,164,096(783億6416万4096)通りになります。
全組合せ総数
78,364,164,096通り
ゴールとなる組合せ総数
次に、こゴールマスに停止できる組合せは、大きく分けて2パターンあり、60ぴったりで止まってゴールとなる組合せと、60を通過してからゴールとなる組合せになります。
算出方法が違うため、2つのパターンを分けて数を調べます。
【60ぴったりで止まってゴールとなる組合せ総数】
60ぴったりに止まる組合せのうち最短回数でゴールに到達するのは6が10回連続するパターンなので、10回から14回までのそれぞれで60ぴったりになる組合せの数を数えてみます。
サイコロ10回で合計60の組合せ：1通り
サイコロ11回の合計60の組合せ：7,997通り
サイコロ12回の合計60の組合せ：1,203,632通り
サイコロ13回の合計60の組合せ：52,786,903通り
サイコロ14回の合計60の組合せ：1,138,276,503通り
一度60に止まるとそこでゴールとなり、後の組合せは全て勝ちパターンとなるため、以下の様に、残りの組合せをプラスして60ぴったりで止まってゴールとなる組合せを算出します。
| サイコロを振った回数 | 目の和が60の組み合せ数 | 残りの組合せ | 組合せ数 |
|---|---|---|---|
| 10回 | 1 | x6x6x6x6 | 1,296通り |
| 11回 | 7997 | x6x6x6 | 1,727,352通り |
| 12回 | 1203632 | x6x6 | 43,330,752通り |
| 13回 | 52786903 | x6 | 316,721,418通り |
| 14回 | 1138276503 | x1 | 1,138,276,503通り |
これらを全部足すと60で止まるパターンの全組合せになります。
1,296 + 1,727,352 + 43,330,752 + 316,721,418 + 1,138,276,503 = 1,500,057,321
60ぴったりで止まってゴールとなる組合せ総数
1,500,057,321通り
【60を通過してからゴールとなる組合せ総数】
次にサイコロの目の和が60を通過してしまった後でゴール出来た組合せを数えます。
目の和が60を通過するためには最低でもサイコロを11回以上振る必要があり、14回目で通過してしまうケースはゴール出来ない組合せになるので、11回目〜13回目に通過する組合せを数えて、それぞれゴールできる組合せの数を算出します。
60を通過する組合せの数としては、サイコロの目の和が61〜65になる組合せの数から、前回既に60を超えてしまっている組合せの数を引いて算出します。
サイコロが11回目で60を通過するケース
| 目の和 | 組合せ数 | 前回60 | 前回61 | 前回62 | 前回63 | 前回64 | 通過組合せ数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 61 | 3,003 | 1 | – | – | – | – | 3,002 |
| 62 | 1,001 | 1 | 0 | – | – | – | 1,000 |
| 63 | 286 | 1 | 0 | 0 | – | – | 285 |
| 64 | 66 | 1 | 0 | 0 | 0 | – | 65 |
| 65 | 11 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 |
サイコロが11回目で60を通過する組合せを合計します。
3,002 + 1,000 + 285 + 65 + 10 = 4,362
サイコロが11回目で60を通過するケースの組合せは残り回数が3回になるので6の3乗をかけて14回サイコロを振った時の全組合せ数を算出します。
4,362 × 6 × 6 × 6 = 942,192
通過した後は次以降のサイコロで60ぴったりに止まる確率は1/6となり、それを3回行えるため確率は1/2となるため、以下にゴール出来る組合せの数を算出します。
942,192 ÷ 2 = 471,096
サイコロが11回目で60を通過してゴール出来る組合せ総数
471,096通り
サイコロが12回目で60を通過するケース
| 目の和 | 組合せ数 | 前回60 | 前回61 | 前回62 | 前回63 | 前回64 | 通過組合せ数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 61 | 653,016 | 7,997 | – | – | – | – | 645,019 |
| 62 | 336,336 | 7,997 | 3,003 | – | – | – | 325,336 |
| 63 | 163,592 | 7,997 | 3,003 | 1,001 | – | – | 151,591 |
| 64 | 74,646 | 7,997 | 3,003 | 1,001 | 286 | – | 62,359 |
| 65 | 31,680 | 7,997 | 3,003 | 1,001 | 286 | 66 | 19,327 |
サイコロが12回目で60を通過する組合せを合計します。
645,019 + 325,336 + 151,591 + 62,359 + 19,327 = 1,203,632
サイコロが12回目で60を通過するケースの組合せは残り回数が2回になるので6の2乗をかけて14回サイコロを振った時の全組合せ数を算出します。
1,203,632 × 6 × 6 = 43,330,752
通過した後は次以降のサイコロで60ぴったりに止まる確率は1/6となり、それを2回行えるため確率は1/3となるため、以下にゴール出来る組合せの数を算出します。
43,330,752 ÷ 3 = 14,443,584
サイコロが12回目で60を通過してゴール出来る組合せ総数
14,443,584通り
サイコロが13回目で60を通過するケース
| 目の和 | 組合せ数 | 前回60 | 前回61 | 前回62 | 前回63 | 前回64 | 通過組合せ数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 61 | 34,801,585 | 1,203,632 | – | – | – | – | 33,597,953 |
| 62 | 22,157,317 | 1,203,632 | 653,016 | – | – | – | 20,300,669 |
| 63 | 13,598,260 | 1,203,632 | 653,016 | 336,336 | – | – | 11,405,276 |
| 64 | 8,027,188 | 1,203,632 | 653,016 | 336,336 | 163,592 | – | 5,670,612 |
| 65 | 4,546,270 | 1,203,632 | 653,016 | 336,336 | 163,592 | 74,646 | 2,115,048 |
サイコロが13回目で60を通過する組合せを合計します。
33,597,953 + 20,300,669 + 11,405,276 + 5,670,612 + 2,115,048 = 73,089,558
サイコロが13回目で60を通過するケースの組合せは残り回数が1回になるので6をかけて14回サイコロを振った時の全組合せ数を算出します。
73,089,558 × 6 = 438,537,348
通過した後は次以降のサイコロで60ぴったりに止まる確率は1/6となり、それを1回行えるため確率は1/6となるため、以下にゴール出来る組合せの数を算出します。
438,537,348 ÷ 6 = 73,089,558
サイコロが13回目で60を通過してゴール出来る組合せ総数
73,089,558通り
ここまででゴールできるサイコロの全組合せ数が以下の様に出せました。
60ぴったりで止まってゴールとなる組合せ総数
1,500,057,321通り
サイコロが11回目で60を通過してゴール出来る組合せ総数
471,096通り
サイコロが12回目で60を通過してゴール出来る組合せ総数
14,443,584通り
サイコロが13回目で60を通過してゴール出来る組合せ総数
73,089,558通り
これらを全て足すと、ゴールとなる全組合せ総数になります。
1,500,057,321 + 471,096 + 14,443,584 + 73,089,558 = 1,588,061,559
ゴールとなる全組合せ総数
1,588,061,559通り
結果
結果として、60マスのすごろくで14回サイコロを振った時のサイコロの目の組合せ総数が
78,364,164,096通り
そのうちゴールとなる組合せ総数が
1,588,061,559通り
となり、ここから、ゴールできる確率を計算すると
1,588,061,559 ÷ 78,364,164,096 = 0.02026515
となって、サイコロだけでゴールできる確率は約2%と言うことになりました。
なんとサイコロだけだと、50回に1回しかゴールできない計算になります。
しかし、実際は「進むマス」や「ワープマス」が存在したり、何らかのアイテムを使ったりする場合がほとんどだと思うので、この結果の数字がどこまで意味があるかは分かりませんが、あくまで数字上はこのような結果となりました。
もっとざっくり、14回サイコロを振って合計が60以上になる組合せだけ算出しても、3,934,198,761通りで全体の約5％しかなく、その内ゴールに止まる事が出来るのは更に絞られた数になる、という説明の方がしっくりくるかもしれません。(その方が分かりやすいと言われると、身も蓋もありませんが。。。）
とりあえず、コンスタントにゴールをしたければアイテムは必ず使いましょう、ということは改めて言える結果だと言えるでしょうか。
まとめ
すごろくゲームについて、アイテムやスペシャルなマスがない場合にゴールできる確率について、気になっていたので調べてみました。
本文中でも紹介、使用させて頂いていますが、「計算サイト」さんのサイコロの和の確率｜確率の計算｜計算サイトプログラムのおかげで、組合せの総数を知ることができ、今回調査することが可能となりました。
「計算サイト」さん素晴らしいプログラムの公開どうもありがとうござました。
以上、サイコロ14回分の組合せは非常に数が大きく、頭から湯気を出しながらも慎重に組合せを数えて、割合を算出してみました。
(計算方法や数字については、慎重にセルフチェックを行なっていますが、もし間違いなどあれば、ご指摘頂けると大変助かります。）
苦労の割にあまり意味のない数値だとおっしゃらずに、参考にして頂ければ大変うれしく思います。